描述并画出 3|x| + 4|y| ≤ 12 的解集区域。

Step-by-step solution

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   先把双重对称性利用起来。 把 $x$ 换成 $-x$，或把 $y$ 换成 $-y$，$3|x|+4|y|$ 都不改变，所以这个区域关于两条坐标轴都对称。于是只要弄清第一象限里的样子，再翻两次就够了。

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   求 $x$ 轴上的截距。 令 $y=0$：

   $3|x|\le 12\;\Longrightarrow\;|x|\le 4\;\Longrightarrow\;-4\le x\le 4$

   所以边界与 $x$ 轴交于 $(\pm 4,0)$。

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   求 $y$ 轴上的截距。 令 $x=0$：

   $4|y|\le 12\;\Longrightarrow\;|y|\le 3\;\Longrightarrow\;-3\le y\le 3$

   得到 $(0,\pm 3)$。

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   认出边界是四条线段。 在第一象限里，取等号的 $3x+4y=12$ 是一条直线，对称性再把它复制到另外三个象限。连接 $(4,0)$、$(0,3)$、$(-4,0)$、$(0,-3)$ 的四条直边围成一个以原点为中心的菱形——正是绝对值把本来光滑的椭圆换成了直边。

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   判断该给哪一侧涂色。 拿原点试一下：$3|0|+4|0|=0\le 12$ $\checkmark$，所以原点在解集里，区域就是菱形的内部。不等式取的是非严格号，所以四条边画成实线，并且属于解集。

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   再检验一个边界点和一个外部点。 $(2,\tfrac32)$：$6+6=12\le 12$ $\checkmark$，正好落在边上。$(4,1)$：$12+4=16\not\le 12$ $\checkmark$，确实在外面。