把 17 除以 (2 加 11 的平方根) 的分母有理化。

Step-by-step solution

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   要选共轭式，不是随便挑个乘数。 分母 $2+\sqrt{11}$ 是一个含单个无理项的二项式。乘上它的共轭式 $2-\sqrt{11}$ 是唯一能一步消掉根号的选择，因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 会把 $\sqrt{11}$ 平方掉。分子分母同乘同一个量，分式的值不变：

   $\frac{17}{2+\sqrt{11}}\cdot\frac{2-\sqrt{11}}{2-\sqrt{11}}$

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   用平方差把分母算出来。

   $(2+\sqrt{11})(2-\sqrt{11})=2^2-(\sqrt{11})^2=4-11=-7$

   注意符号：因为 $11>4$，结果是负数。这个负分母正是最容易被处理错的一步。

3. 3

   展开分子。 把 $17$ 乘进去：

   $17(2-\sqrt{11})=34-17\sqrt{11}$

   于是分式现在是

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}$

4. 4

   把负号搬到分子上。 分母带着负号不算最简形式。分子分母同乘 $-1$：

   $\frac{34-17\sqrt{11}}{-7}=\frac{17\sqrt{11}-34}{7}$

   再没有可约的了：$17$ 与 $7$ 互素，所以这个分数已经是最简。

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   做一次数值核对。 取 $\sqrt{11}=3.3166247903554$，原式是 $17/5.3166247903554=3.1975173480059\,7$，化简后的形式是 $(17\cdot 3.3166247903554-34)/7=22.3826214/7=3.1975173480059\,7$。两者在小数点后 13 位上一致，说明有理化没有出错。