已知不等式 x² + px + q < 0 的解集是 (−1/2, 1/3)，求不等式 qx² + px + 1 > 0 的解集。

Step-by-step solution

1. 1

   先把给定的解集翻译成两个根。 $x^{2}+px+q$ 的二次项系数是 $+1>0$，抛物线开口向上，因此它取负值的区间恰好夹在两根之间。于是给定区间的两个端点就是方程的两个根：

   $x_1=-\frac12,\qquad x_2=\frac13$

2. 2

   把二次式还原出来，读出 p 和 q。

   $x^{2}+px+q=\left(x+\frac12\right)\left(x-\frac13\right)=x^{2}+\left(\frac12-\frac13\right)x-\frac16=x^{2}+\frac16x-\frac16$

   所以

   $p=\frac16,\qquad q=-\frac16$

   （用韦达定理结果一样：$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。）

3. 3

   代入第二个不等式。

   $-\frac16x^{2}+\frac16x+1>0$

4. 4

   去分母，并处理符号。 两边乘 $6$（正数，不等号方向不变）：

   $-x^{2}+x+6>0$

   再乘 $-1$，这一步必须把不等号反向：

   $x^{2}-x-6<0$

5. 5

   因式分解后求解。

   $(x-3)(x+2)<0$

   开口向上的抛物线在两根之间取负值，所以

   $-2<x<3$

   $\boxed{(-2,\,3)}$

6. 6

   验算端点和一个内部点。 取 $x=0$：$q(0)+p(0)+1=1>0$ ✓（在区间内）。取 $x=3$：$-\tfrac16(9)+\tfrac16(3)+1=-\tfrac32+\tfrac12+1=0$，所以 $x=3$ 要排除，正好对应开区间的端点。取 $x=4$：$-\tfrac{16}{6}+\tfrac46+1=-\tfrac{6}{6}=-1<0$ ✓（在区间外）。