已知二次函数 f 满足 f(x) ≤ 0 的解集恰好是 −1 ≤ x ≤ 5，且 f(x) 的最小值为 −18，求不等式 f(x) ≤ 6 的解集。

Step-by-step solution

1. 1

   从解集里直接读出零点和开口方向。 $f(x)\le0$ 恰好在一个有界闭区间上成立，说明 $f$ 在两个端点处取零，在它们之间严格为负。也就是说，$-1$ 和 $5$ 正是两个根，而且抛物线开口向上（如果开口向下，$f\le0$ 的解集会是两条向外的射线）。因此

   $f(x)=a(x+1)(x-5),\qquad a>0.$

2. 2

   用对称性定顶点，不必配方。 开口向上的抛物线，最小值就落在两根的正中间：

   $x_{\text{顶点}}=\frac{-1+5}{2}=2.$

   题目给出的那个最小值，只可能在这个位置取到。

3. 3

   把最小值翻译成关于 $a$ 的方程。

   $f(2)=a(2+1)(2-5)=-9a$

   $-9a=-18\quad\Longrightarrow\quad a=2$

   符号检验也通过了：$a=2>0$，与第一步推出的开口向上一致。于是

   $f(x)=2(x+1)(x-5)=2x^2-8x-10.$

4. 4

   解 $f(x)\le 6$。 把所有项移到一边，再除以正的二次项系数（除以正数不会改变不等号方向）：

   $2x^2-8x-10\le6\;\Longrightarrow\;2x^2-8x-16\le0\;\Longrightarrow\;x^2-4x-8\le0.$

5. 5

   求出边界方程的根，再挑对该取哪一侧。

   $x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt3}{2}=2\pm2\sqrt3$

   由于 $x^2-4x-8$ 开口向上，它只有在两根之间才 $\le0$：

   $2-2\sqrt3\le x\le 2+2\sqrt3\qquad(\text{约为 }-1.464\le x\le5.464).$

6. 6

   用题目给的条件再核一遍答案。 新区间以 $x=2$ 为中心，正是同一条对称轴；而且它严格包含 $[-1,5]$——必然如此，因为在开口向上的抛物线上，$6$ 这条水平线高于 $0$。代入端点验证：$f\left(2+2\sqrt3\right)=2\left(3+2\sqrt3\right)\left(-3+2\sqrt3\right)=2\left(12-9\right)=6$，恰好就是边界值。