解方程 x⁴ + x³ + x² + x = 4.553。

Step-by-step solution

1. 1

   先因式分解，把实根个数数清楚。 由于

   $g(x)=x^4+x^3+x^2+x=x(x+1)(x^2+1)$

   而 $x^2+1>0$，所以这个函数只在 $(-1,0)$ 上取负值，两侧都像 $x^4$ 那样上升。因此高度为 $4.553>0$ 的水平线与图象恰好相交两次：右支一次、左支一次。事先弄清这一点，就不会找到一个根就收工。

2. 2

   先把正根夹住。 $g(1)=1+1+1+1=4$，低于目标值；$g(1.1)=1.4641+1.331+1.21+1.1=5.1051$，高于目标值。所以这个根落在 $(1,1.1)$ 里。

3. 3

   把它逼近到位。 用二分法（或者从 $1.05$ 出发做一步牛顿迭代）得到

   $x_1=1.0524735$

   验一下：$g(1.0524735)=4.55300$。常被引用的 $1.054381$ 算出 $g=4.5742$，大了 $0.021$——这里的导数约为 $11$，所以 $x$ 上 $0.002$ 的误差会明显放大出来。

4. 4

   再把负根夹住。 $g(-1.69)=4.4966$、$g(-1.70)=4.6291$，正好把 $4.553$ 夹在中间。所以第二个根落在 $(-1.70,-1.69)$ 里。

5. 5

   把它也逼近到位。

   $x_2=-1.6942810,\qquad g(x_2)=4.55300$

   有人给出的 $-1.853257$ 远在这个夹逼区间之外——实际上 $g(-1.853257)=7.0124$，和 $4.553$ 差得很远。

6. 6

   写出答案。 两个实数解是

   $x\approx 1.0524735\quad\text{与}\quad x\approx -1.6942810$

   剩下两个根构成一对共轭复数，因为四次方程一共有四个根。