把下列多项式分解成乘积形式：(a) 27x^3 + y^3，(b) x^3 - 8y^3，(c) x^3 + 512。然后展开 (x + 1)(x^2 - x + 1)，并说明结果如何印证你所用的公式。

Step-by-step solution

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   记住这两个公式，更要记住它们的「形」。 所有关于立方的因式分解都来自

   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

   与其死记符号，不如把规律记成一句话：第一个因式的符号与原式相同（加对加，减对减），二次因式中间项的符号则相反，而两头的两项永远是正号。就这一条规则，能避免最常见的错误——把 $a^2-ab+b^2$ 写成 $a^2-2ab+b^2$（那其实是 $(a-b)^2$）。

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   (a) 在 $27x^3+y^3$ 里认出两个立方。 这里唯一要做的就是看出 $27=3^3$，于是

   $27x^3=(3x)^3,\qquad y^3=y^3\ \Longrightarrow\ a=3x,\; b=y$

   代入立方和公式：

   $27x^3+y^3=(3x+y)\big((3x)^2-(3x)(y)+y^2\big)=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$

   注意 $(3x)^2=9x^2$ 而不是 $3x^2$——要把 $3x$ 整体平方，这里是数值上最容易算错的地方。

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   (b) 对 $x^3-8y^3$ 用立方差公式。 这里 $8y^3=(2y)^3$，所以 $a=x$、$b=2y$，适用带减号的那个公式：

   $x^3-8y^3=(x-2y)\big(x^2+x(2y)+(2y)^2\big)=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

   二次因式 $x^2+2xy+4y^2$ 在实数范围内不能再分解：把它看成关于 $x$ 的二次式，判别式是 $(2y)^2-4(4y^2)=-12y^2<0$。每一个立方公式里的二次因式都是这样，所以结果永远恰好是两个因式。

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   (c) 认出 $512$ 是完全立方数。 因为 $512=8^3$，在立方和公式中取 $a=x$、$b=8$：

   $x^3+512=x^3+8^3=(x+8)(x^2-8x+64)$

   用常数项快速核对：两个常数项的乘积应当还原出原来的常数，而 $8\times 64=512$。✓

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   展开 $(x+1)(x^2-x+1)$，从反方向看这个公式。 逐项相乘：

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   中间的项两两抵消——$-x^2$ 与 $+x^2$，$+x$ 与 $-x$——只剩下

   $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$

   这正是 $a=x$、$b=1$ 时的 $a^3+b^3$。这个抵消也正是二次因式中间项必须是 $-ab$ 的原因：只有这样才能把多出来的两个中间项消掉。

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   每个结果都乘回去或代一个数验证。 最快的检验是代入一个方便的数。以 (c) 为例，取 $x=2$：原式得 $8+512=520$，因式形式得 $(2+8)(4-16+64)=10\times 52=520$。✓ 每小题做一次数值检验，比反复重读代数过程更容易抓出符号错误。