解不等式 (x − 3)/4 < 6 − (3 − 4x)/2，并写出解集。

Step-by-step solution

1. 1

   乘最小公分母，而不是把每个分式各自处理。 分母是 $4$ 和 $2$，所以 $\operatorname{lcm}(4,2)=4$。不等式乘上正数 $4$，$<$ 的方向保持不变 —— 这正是第一步能这么放心走的唯一理由。（若乘的是负数，就必须把不等号变向。）

2. 2

   把 4 分配到右边的每一项上，$6$ 也不能漏。

   $4\cdot\frac{x-3}{4}<4\cdot 6-4\cdot\frac{3-4x}{2}\ \Longrightarrow\ x-3<24-2(3-4x)$

   这里最常见的错误是只乘了分式、把 $6$ 落在原地。

3. 3

   展开括号，盯住它前面的负号。 $-2$ 要乘到括号里两项上：

   $-2(3-4x)=-6+8x$

   于是

   $x-3<24-6+8x\ \Longrightarrow\ x-3<18+8x$

   注意 $-2\cdot(-4x)=+8x$：负负得正，这也是含 $x$ 的项最终落在较大那一边的原因。

4. 4

   把含 $x$ 的项归到能让系数保持正的那一边。 两边减去 $x$：

   $-3<18+7x$

   选这个方向可以完全避免除以负数，也就不需要变号了。

5. 5

   把 $x$ 单独解出来。 减去 $18$，再除以正数 $7$：

   $-21<7x\ \Longrightarrow\ -3<x\ \Longrightarrow\ x>-3$

   用区间表示，解集是 $(-3,\infty)$。

6. 6

   里外各取一个值验证。 当 $x=0$（在解集内）：左边 $=-\tfrac34$，右边 $=6-\tfrac32=4.5$，而 $-0.75<4.5$ ✓。当 $x=-4$（在解集外）：左边 $=-\tfrac74=-1.75$，右边 $=6-\tfrac{19}{2}=-3.5$，而 $-1.75<-3.5$ 不成立 ✓。边界 $x=-3$ 使两边相等，正好说明它要被排除。