把式子 (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ − 82 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   在中点处换元，让式子变得对称。 两个底数 $x+1$ 与 $x+3$ 以 $x+2$ 为中心，所以令 $y=x+2$，它们就变成 $y-1$ 和 $y+1$。直接按 $x$ 展开会得到一个很乱的四次式；这样取换元正是为了让奇次项相消：

   $(y-1)^4+(y+1)^4-82$

2. 2

   展开，看奇次项如何相消。

   $(y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1,\qquad (y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1$

   $(y-1)^4+(y+1)^4=2y^4+12y^2+2$

   于是原式变成 $2y^4+12y^2+2-82=2y^4+12y^2-80=2\left(y^4+6y^2-40\right)$。

3. 3

   把括号里的式子看成关于 $t=y^2$ 的二次式。 令 $t=y^2$，

   $t^2+6t-40=(t+10)(t-4)$

   因为 $10\cdot(-4)=-40$ 而 $10+(-4)=6$。换回 $y$：$\left(y^2+10\right)\left(y^2-4\right)$。

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   再用平方差分解，不可约的那块就到此为止。 $y^2-4=(y-2)(y+2)$，而 $y^2+10$ 没有实根，保持原样：

   $2\left(y^2+10\right)(y-2)(y+2)$

5. 5

   把 $y=x+2$ 代回去。 $y-2=x$，$y+2=x+4$，$y^2+10=(x+2)^2+10=x^2+4x+14$：

   $2x(x+4)\left(x^2+4x+14\right)$

6. 6

   取若干整数代入两个式子对比验证。 在 $x=-8,\dots,8$ 处，原式 $(x+1)^4+(x+3)^4-82$ 与 $2x(x+4)(x^2+4x+14)$ 在这 $17$ 个点上处处相等——远多于确定一个四次式所需的 $5$ 个点，所以这个分解是准确的。