化简 (x+1)³ − 2(x+1)²(x−1) − (x+1)(x−1)² + 2(x+1)³(x² − 9)/(x + 3)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分式干掉。 $x^2-9$ 是一个平方差：

   $x^2-9=(x-3)(x+3)$

   于是最后一项变成 $\dfrac{2(x+1)^3(x-3)(x+3)}{x+3}=2(x+1)^3(x-3)$，在 $x\neq -3$ 时有效。分母一消失，整个式子就是一个多项式了。

2. 2

   提出公因式 $(x+1)$。 这四项里每一项都至少带一个 $x+1$ 因子：

   $(x+1)\Bigl[(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2+2(x+1)^2(x-3)\Bigr]$

   现在就把它提出来，能让后面的展开少一个次数。

3. 3

   展开括号里的前三项。 用 $(x+1)^2=x^2+2x+1$、$(x+1)(x-1)=x^2-1$、$(x-1)^2=x^2-2x+1$：

   $\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=-2x^2+4x+2$

   （$x^2$ 项是 $1-2-1=-2$，$x$ 项是 $2+2=4$，常数项是 $1+2-1=2$。）

4. 4

   展开第四项。

   $2(x+1)^2(x-3)=2\left(x^2+2x+1\right)(x-3)=2\left(x^3-x^2-5x-3\right)=2x^3-2x^2-10x-6$

5. 5

   把括号里的两部分相加。

   $\left(-2x^2+4x+2\right)+\left(2x^3-2x^2-10x-6\right)=2x^3-4x^2-6x-4=2\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

6. 6

   写出最终的因式形式并检验。

   $2(x+1)\left(x^3-2x^2-3x-2\right)$

   这个三次式没有有理根（$\pm1,\pm2$ 全都不行），所以在 $\mathbb{Q}$ 上不能再往下分解。在 $x=2.3$ 处做数值检验：原式与这个形式都等于 $-48.2658$。$\checkmark$