化简 ((a − 2)/(a + 2) − (a + 2)/(a − 2)) ÷ (12a²/(4 − a²))。

Step-by-step solution

1. 1

   先把括号按公分母 (a+2)(a−2) 合并。

   $\frac{(a-2)^{2}-(a+2)^{2}}{(a+2)(a-2)}$

   分子本身又是一个平方差：$(A^{2}-B^{2})=(A-B)(A+B)$，取 $A=a-2$、$B=a+2$ 得 $(-4)(2a)=-8a$。（直接展开也一样：$a^{2}-4a+4-a^{2}-4a-4=-8a$。）

2. 2

   把括号写紧凑些。 由于 $(a+2)(a-2)=a^{2}-4$，

   $\text{括号}=\frac{-8a}{a^{2}-4}$

3. 3

   把除法改写成乘倒数。

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{4-a^{2}}{12a^{2}}$

4. 4

   用 4 − a² = −(a² − 4) 把两个二次式约掉。 这两个符号相反的因式相约得到 $-1$：

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{-(a^{2}-4)}{12a^{2}}=\frac{8a}{12a^{2}}$

   漏了这次变号，是答案唯一可能被算成负数的地方。

5. 5

   把剩下的分数约到最简。 分子分母同除 $4a$：

   $\frac{8a}{12a^{2}}=\frac{2}{3a}$

   $\boxed{\dfrac{2}{3a}}\qquad(a\neq 0,\ a\neq\pm 2)$

6. 6

   取一个值检验。 当 $a=1$：括号里是 $\tfrac{-1}{3}-\tfrac{3}{-1}=-\tfrac13+3=\tfrac83$，除数是 $\tfrac{12}{3}=4$，所以商是 $\tfrac{8}{12}=\tfrac23$。而答案给出 $\tfrac{2}{3(1)}=\tfrac23$ ✓。