设 P(x) 是四次多项式，满足 P(1) = 1，P(2) = 5，P(3) = 9，P(4) = 13，P(5) = 1。求 P(x) 所有根之和。

Step-by-step solution

1. 1

   先在给出的数值里找规律，再动手做代数。 前四个函数值 $1,5,9,13$ 每次增加 $4$，说明它们落在同一条直线上：

   $L(x)=4x-3$

   因为 $4(1)-3=1$，$4(2)-3=5$，$4(3)-3=9$，$4(4)-3=13$。只有第五个值 $P(5)=1$ 打破了规律（按直线应该是 $17$）。

2. 2

   减去这条直线，人为制造出四个已知的根。 令

   $Q(x)=P(x)-(4x-3)$

   那么 $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$。减去一个一次多项式不会改变四次项，所以 $Q$ 仍是四次的——而一个已知四个根的四次多项式，除了一个常数因子外就完全确定了：

   $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),\qquad a\neq 0$

3. 3

   写出 $P$ 的显式表达式。 把减掉的部分加回来：

   $P(x)=4x-3+a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

   这一个式子已经把五个条件中的四个装进去了；剩下的第五个条件用来定出 $a$。

4. 4

   用 $P(5)=1$ 求出 $a$。 代入 $x=5$：

   $1=4(5)-3+a(4)(3)(2)(1)=17+24a$

   $24a=-16\qquad\Longrightarrow\qquad a=-\frac{2}{3}$

5. 5

   用韦达定理，注意 $a$ 会被约掉。 对 $P(x)=Ax^4+Bx^3+\dots$，所有根之和等于 $-\dfrac{B}{A}$。只把最高的两项展开：

   $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^4-(1+2+3+4)x^3+\cdots=x^4-10x^3+\cdots$

   于是 $A=a$，$B=-10a$（后面那个 $4x-3$ 对这两个系数都没有影响）。因此

   $-\frac{B}{A}=-\frac{-10a}{a}=10$

   $a$ 的值被约掉了。算出 $a=-\tfrac{2}{3}$ 是一个有用的复核，但答案其实只需要 $a\neq 0$，而这一点由 $P$ 的次数是 $4$ 所保证。

6. 6

   写出答案。 $P$ 的四个根之和为

   $\boxed{10}$

   用显式多项式 $P(x)=-\tfrac{2}{3}x^4+\tfrac{20}{3}x^3-\tfrac{70}{3}x^2+\tfrac{112}{3}x-19$ 复核：它确实还原了给定的五个函数值，且 $-\tfrac{20/3}{-2/3}=10$。