解不等式 (2x − 1)/(1 − x) ≥ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   千万别交叉相乘。 两边同乘 $1-x$ 需要先知道它的符号，而这个符号在 $x=1$ 处就会改变。分式不等式稳妥的做法是：拿分子、分母的零点列一张符号表。

2. 2

   找出临界点。

   $2x-1=0\Rightarrow x=\frac12\quad(\text{分子的零点}),\qquad 1-x=0\Rightarrow x=1\quad(\text{分母的零点，须排除})$

   这两点把数轴切成 $\left(-\infty,\tfrac12\right)$、$\left(\tfrac12,1\right)$ 和 $(1,\infty)$。在每一段的内部，表达式的符号都不可能改变。

3. 3

   每个区间取一个值试算。 取 $x=0$：$\dfrac{-1}{1}=-1<0$。取 $x=\tfrac34$：$\dfrac{3/2-1}{1/4}=\dfrac{1/2}{1/4}=2>0$。取 $x=2$：$\dfrac{3}{-1}=-3<0$。所以符号依次是负、正、负——表达式只在中间那一段为正。

4. 4

   定端点，这一步最容易丢分。 在 $x=\tfrac12$ 处分式的值是 $\dfrac{0}{1/2}=0$，而 $0\ge0$ 成立，所以 $x=\tfrac12$ 要取到。在 $x=1$ 处分母为 $0$，表达式无定义，所以 $x=1$ 必须排除——不管不等号朝哪边都一样。

5. 5

   把解写成半开区间。

   $\frac12\le x<1,\qquad\left[\frac12,\ 1\right)$

   一方括号一圆括号的这种不对称，就是这道题的全部内容。

6. 6

   扫描验证。 在 $[-3,3]$ 上取 $6001$ 个点（跳过 $x=1$）逐点算出分式的值，再与上面给出的区间比对，零处不符 ✓。