解一元二次方程 x² + 17x − 120 = 0。

Step-by-step solution

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   先试整数分解，然后看它怎么失败。 要分解就得找到两个整数，积为 $-120$、和为 $+17$。把 $120$ 的因数对过一遍：$(24,-5)$ 之和是 $19$，$(30,-4)$ 之和是 $26$，$(20,-6)$ 之和是 $14$，$(40,-3)$ 之和是 $37$，$(15,-8)$ 之和是 $7$。没有一个落在 $17$ 上，所以整数分解并不存在。这里有一个被反复转抄的错误答案 $(x+24)(x-5)$ —— 但它展开是 $x^2+19x-120$，不是 $x^2+17x-120$。

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   用判别式来确认这次失败。 对 $ax^2+bx+c$，取 $a=1$、$b=17$、$c=-120$，

   $\Delta=b^2-4ac=17^2-4(1)(-120)=289+480=769$

   由于 $27^2=729$、$28^2=784$，$769$ 严格夹在两个相邻的平方数之间，所以它不是完全平方数。这正是上面那轮整数搜索注定失败的代数原因：有理根要求判别式是平方数。

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   代入求根公式。 由 $\Delta=769>0$，方程有两个不相等的无理根：

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-17\pm\sqrt{769}}{2}$

   这就是精确答案；$769$ 是素数，因此不含任何平方因数，所以 $\sqrt{769}$ 无法再化简。

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   换算成小数。 $\sqrt{769}\approx 27.7308$，所以

   $x_1=\frac{-17+27.7308}{2}\approx 5.3654,\qquad x_2=\frac{-17-27.7308}{2}\approx -22.3654$

   注意 $x_2$ 离那个很诱人的 $-24$ 有多远：两者不能混为一谈。

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   用韦达定理检验。 两根之和必须是 $-b/a=-17$，两根之积必须是 $c/a=-120$。确实 $5.3654+(-22.3654)=-17$；而精确地算，

   $x_1x_2=\frac{(-17)^2-769}{4}=\frac{289-769}{4}=\frac{-480}{4}=-120$

   两个条件都成立，所以两根无误。