解方程 1/(x(x + 2)) − 1/(x + 1)² = 1/12。

Step-by-step solution

1. 1

   先看出两个分母之间藏着的关系。 展开来看，$x(x+2)=x^{2}+2x$，而 $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$。两者恰好相差 $1$，于是令

   $u=(x+1)^{2}$

   就有 $x(x+2)=u-1$，方程随之塌缩成一个单变量问题。如果直接去分母，得到的会是一个四次方程。

2. 2

   用 u 改写方程。

   $\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}=\frac{1}{12}$

3. 3

   把左边合并。 分子相消掉：

   $\frac{u-(u-1)}{u(u-1)}=\frac{1}{u^{2}-u}$

   于是方程成为 $\dfrac{1}{u^{2}-u}=\dfrac{1}{12}$，也就是

   $u^{2}-u-12=0$

4. 4

   解这个关于 u 的一元二次方程。

   $(u-4)(u+3)=0\quad\Longrightarrow\quad u=4\ \text{或}\ u=-3$

5. 5

   舍去不可能的值，再把换元代回去。 因为 $u=(x+1)^{2}$ 是一个平方数，$u=-3$ 不可能。由 $u=4$：

   $(x+1)^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x+1=\pm 2\quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{或}\ x=-3$

   $\boxed{x=1\ \text{或}\ x=-3}$

6. 6

   把两个根代回原方程检验，并确认定义域。 需要排除的值是 $x=0$、$x=-2$ 和 $x=-1$；两个根都不在其中。取 $x=1$：$\tfrac{1}{1\cdot 3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓。取 $x=-3$：$\tfrac{1}{(-3)(-1)}-\tfrac{1}{4}=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}$ ✓。两根关于 $x=-1$ 对称是理所当然的，因为整个方程只通过 $(x+1)^{2}$ 依赖 $x$。