解方程组：X × 5.20 + Y × 5.75 = 8947.2，且 X + Y = 1595。

Step-by-step solution

1. 1

   先把方程组写成矩阵形式。

   $\begin{pmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8947.2\\ 1595\end{pmatrix}$

   克莱姆法则把每个未知数写成两个行列式之比。对 $2\times 2$ 的方程组特别合适——每个行列式就是一次交叉相乘。

2. 2

   算系数行列式。

   $D=\begin{vmatrix}5.20 & 5.75\\ 1 & 1\end{vmatrix}=5.20(1)-5.75(1)=-0.55$

   它不为零，所以方程组有唯一解。注意 $|D|$ 又一次等于两个单价之差。

3. 3

   算两个分子行列式。 分别把 $X$ 所在列、$Y$ 所在列换成右端常数列：

   $D_X=\begin{vmatrix}8947.2 & 5.75\\ 1595 & 1\end{vmatrix}=8947.2-5.75(1595)=8947.2-9171.25=-224.05$

   $D_Y=\begin{vmatrix}5.20 & 8947.2\\ 1 & 1595\end{vmatrix}=5.20(1595)-8947.2=8294-8947.2=-653.2$

4. 4

   相除得到两个未知数。

   $X=\frac{D_X}{D}=\frac{-224.05}{-0.55}=\frac{4481}{11}\approx 407.36,\qquad Y=\frac{D_Y}{D}=\frac{-653.2}{-0.55}=\frac{13064}{11}\approx 1187.64$

   两个都是循环小数，所以分数形式才是精确答案。

5. 5

   代回原方程验算。 求和：$\tfrac{4481+13064}{11}=\tfrac{17545}{11}=1595\;\checkmark$。金额那一式两边 $\times 100$ 去掉小数：$\tfrac{520\cdot 4481+575\cdot 13064}{11}=\tfrac{2330120+7511800}{11}=\tfrac{9841920}{11}=894720$，正好是 $8947.2\times 100\;\checkmark$。