用代入消元法解方程组 3x + 2y + 5z = 7，x + 2y + 5z = 4，−x + 3y + z = 2，3x + 4y + 5z = 32。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意这是个超定方程组。 方程有四个，未知数却只有三个。这样的方程组通常无解：第四个方程比未知数能吸收的约束多出一条，所以有一部分工作就是先判断这些方程究竟相容不相容。

2. 2

   从方程 (2) 解出 x。 由 $x+2y+5z=4$ 得 $x=4-2y-5z$。挑方程 (2) 是很自然的，因为那里 $x$ 的系数是 $1$，不会带出分数。

3. 3

   代入其余三个方程。 代入 (1)：$3(4-2y-5z)+2y+5z=7$ 化为 $4y+10z=5$，记作 (A)。代入 (3)：$-(4-2y-5z)+3y+z=2$ 给出 $5y+6z=6$，记作 (B)。代入 (4)：$3(4-2y-5z)+4y+5z=32$ 给出 $2y+10z=-20$，记作 (C)。

4. 4

   解 (A) 与 (C) 这一对。 用 (A) 减 (C) 消去 $z$：$(4y+10z)-(2y+10z)=5-(-20)$，即 $2y=25$，得 $y=\frac{25}{2}$。再代回 (C) 得 $25+10z=-20$，所以 $z=-\frac92$。

5. 5

   把这组值代进方程 (B) 检验。 $5\left(\frac{25}{2}\right)+6\left(-\frac92\right)=\frac{125}{2}-27=\frac{71}{2}=35.5$，可 (B) 要求的是 $6$。三个化简后的方程无法同时成立。

6. 6

   下结论，并用秩再确认一遍。 由于方程组的一个推论与另一个方程相矛盾，方程组不相容。系数矩阵的秩是 $3$，而增广矩阵的秩是 $4$，这正是无解的 Rouché–Capelli 判别条件。更具体地说，$(1)-(2)$ 迫使 $x=\frac32$，$(4)-(1)$ 迫使 $y=\frac{25}{2}$，再由 (2) 迫使 $z=-\frac92$；把这组值代入方程 (3) 得到 $-\frac32+\frac{75}{2}-\frac92=\frac{63}{2}=31.5$，而不是 $2$。