设 a(x − 1)/(x − 2) > 2 的解集为 A，且 3 不属于 A，求 a 的取值范围。

Step-by-step solution

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   别急着把不等式一般地解出来。 要对所有 $a$ 求出 $A$，就得按 $a$ 的符号以及 $x=2$ 这个奇点分情况列符号表。但题目只问一个点的归属，直接在那一点代值就够了——这就是整道题的捷径。

2. 2

   先确认 $x=3$ 是可以代的。 表达式只在 $x=2$ 处无意义。由于 $3\ne 2$，点 $x=3$ 落在定义域内，所以「$3\notin A$」确实是说不等式在 $x=3$ 处不成立，而不是在那里没定义。

3. 3

   代入 $x=3$。

   $\frac{a(3-1)}{3-2}=\frac{2a}{1}=2a$

   于是「$3$ 属于 $A$」这件事恰好等价于 $2a>2$。

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   把这个归属条件取否定。 $3\notin A$ 意味着这个严格不等式不成立：

   $2a>2\ \text{不成立}\iff 2a\le 2\iff a\le 1$

   严格不等式的否定是带等号的，所以 $a=1$ 也允许：它让左边恰好等于 $2$，而 $2$ 并不大于 $2$。

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   在边界处及其两侧检验。 取 $a=1$：$\tfrac{1(3-1)}{3-2}=2$，而 $2>2$ 不成立，所以 $3\notin A\;\checkmark$。取 $a=1.5$：值为 $3>2$，于是 $3\in A$——正好被排除掉。取 $a=0$：值为 $0>2$，不成立，所以 $3\notin A\;\checkmark$。因此取值范围是 $a\le 1$。