求方程 (2x + 2)^(1/3) = −4 的实数解。

Step-by-step solution

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   把分数指数读成立方根。 按定义 $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$，所以这个方程说的是：$2x+2$ 的立方根等于 $-4$。右边是负数完全合理——每个实数都恰好有一个实立方根，负数也不例外。

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   两边同时立方，消去根号。 三次方与开立方互为逆运算：

   $\left((2x+2)^{1/3}\right)^3 = (-4)^3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2 = -64$

   注意 $(-4)^3 = -64$，符号被完整保留了下来；这和平方不一样，平方会把负号抹掉。

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   解出剩下的一次方程。

   $2x = -64 - 2 = -66 \quad\Longrightarrow\quad x = -33$

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   代回原方程检验。 把 $x = -33$ 代入得 $2(-33) + 2 = -64$，而 $(-64)^{1/3} = -4$，与右边完全吻合。

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   为什么这里不需要检验增根。 立方在实数范围内是一一对应的运算，既不会增加解也不会丢失解。这正是它与平方根方程的关键区别：平方根方程两边平方，可能凭空造出必须舍去的增根。所以本题中 $x = -33$ 就是唯一的实数解。