已知 3x − 2y = 20，求 D = 9x² − 12xy + 4y² 的值。

Step-by-step solution

1. 1

   先把两个平方项开方。 要套 $A^2 - 2AB + B^2$ 这个模式，得先把 $A$ 和 $B$ 找出来：

   $A^2 = 9x^2 \Rightarrow A = 3x, \qquad B^2 = 4y^2 \Rightarrow B = 2y$

   这里首项系数 $9$ 和 $4$ 本身就是完全平方数，这正是可以套这个恒等式的信号。

2. 2

   动手之前先核对中间项。 这个模式要求中间项恰好是 $2AB$：

   $2AB = 2(3x)(2y) = 12xy$

   它与式子里的 $-12xy$ 吻合，而那个负号说明该用 $(A - B)^2$ 而不是 $(A + B)^2$。中间项系数只要不是 $12$，这个式子就根本不是完全平方。

3. 3

   改写成一个平方。

   $D = 9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2$

4. 4

   把已知关系整体代进去。 由 $3x - 2y = 20$ 得：

   $D = 20^2 = 400$

   这里同样是把整个括号一次性替换掉；题目给的信息本来就不足以定出 $x$、$y$ 各自的值，而我们也根本不需要它们。

5. 5

   用 3x − 2y = 20 的两组具体解验证。 取 $y = 2$、$x = 8$：$9(64) - 12(16) + 4(4) = 576 - 192 + 16 = 400 \ \checkmark$。取 $y = -1$、$x = 6$：$324 + 72 + 4 = 400 \ \checkmark$。结果与选用哪一组解无关，正如所料。