按指示相乘并化简：(x² − 14x + 48)/(x² − 3x − 18) × (x² − 9)/(x² − 64)。

Step-by-step solution

1. 1

   动手相乘之前，先把每个式子分解。 要是先把分子分母展开，只会得到一堆四次式，还把所有能约掉的部分都藏了起来。这四个二次式在整数范围内都能分解，所以分解既做得到，也正是这道题的用意所在。

2. 2

   把四个二次式分解。

   $x^2-14x+48 = (x-6)(x-8), \qquad x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$

   $x^2-9 = (x-3)(x+3), \qquad x^2-64 = (x-8)(x+8)$

   后两个是平方差；前两个要找乘积为 $48$、和为 $-14$，以及乘积为 $-18$、和为 $-3$ 的两个数。

3. 3

   把乘积写成一个分式。

   $\frac{(x-6)(x-8)\,(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+3)\,(x-8)(x+8)}$

4. 4

   约的是相同的因式，不是相同的项。 上下共有三个完整的因式：$(x-6)$、$(x-8)$ 和 $(x+3)$。把它们约掉后剩下

   $\frac{x-3}{x+8}$

   不可以做的，是把 $\dfrac{x-3}{x+8}$ 里孤零零的 $x$ 或 $3$ 划掉——约分只能消去乘积中完全相同的因式，绝不能消去和式里的某一部分。

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   注意被排除的取值。 约分会把原式本来就有的限制藏起来：定义域必须排除 $x = 6$、$x = -3$、$x = 8$ 和 $x = -8$。化简后的式子只在原式有定义的地方才与原式相等。

6. 6

   取一个数值验证。 取 $x = 1$。原式：$\dfrac{1-14+48}{1-3-18} \cdot \dfrac{1-9}{1-64} = \dfrac{35}{-20} \cdot \dfrac{-8}{-63} = -\dfrac{2}{9}$。化简式：$\dfrac{1-3}{1+8} = -\dfrac{2}{9}$ ✓。