解方程 4^x = 80，求 x。

Step-by-step solution

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   先看 $80$ 是不是 $4$ 的整数次幂。 各次幂是 $4^1=4$、$4^2=16$、$4^3=64$、$4^4=256$。由于 $64<80<256$，指数不是整数，且严格落在 $3$ 与 $4$ 之间 —— 现在就记下来，可以当作最终答案的取值范围。

2. 2

   两边取对数。 用任何底都行；对数能把指数变成因子：

   $\ln\left(4^x\right)=\ln 80\quad\Longrightarrow\quad x\ln 4=\ln 80$

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   解出 $x$，并说清它的精确形式。

   $x=\frac{\ln 80}{\ln 4}=\log_4 80$

   这正是换底公式反过来读：$\log_b a=\tfrac{\ln a}{\ln b}$。

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   算出数值。 取 $\ln 80\approx 4.3820266$、$\ln 4\approx 1.3862944$：

   $x\approx\frac{4.3820266}{1.3862944}\approx 3.16096$

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   对照取值范围并代回检验。 $3.161$ 确实落在 $3$ 与 $4$ 之间 $\checkmark$，且 $4^{3.16096}\approx 80.000$ $\checkmark$。还有一个等价的精确写法：由于 $80=16\times 5$ 而 $16=4^2$，可得 $x=2+\log_4 5$，其中 $\log_4 5\approx 1.16096$ $\checkmark$。