解不等式 −7 > 3x(x − 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把右边展开。

   $3x(x-2)=3x^2-6x\quad\Longrightarrow\quad -7>3x^2-6x$

2. 2

   整理成标准形式。 把所有项移到能让 $x^2$ 保持正系数的一侧；两边减去 $-7$ 再反过来读，得到

   $3x^2-6x+7<0$

   （把 $-7>E$ 读成 $E<-7$ 是同一句话，只是把表达式写在了前面。）

3. 3

   计算判别式。 此时 $a=3$，$b=-6$，$c=7$：

   $\Delta=(-6)^2-4(3)(7)=36-84=-48<0$

   没有实根，也就意味着处处不变号。

4. 4

   判断这个恒定的符号。 因为 $a=3>0$，抛物线开口向上，整条曲线都在 x 轴上方。配方可以把这一点量化：

   $3x^2-6x+7=3(x-1)^2+4\ge 4$

5. 5

   下结论并验算。 一个永远不小于 $4$ 的量绝不会是负的，所以该不等式无解。拿顶点 $x=1$ 抽查：$3(1)(1-2)=-3$，而 $-7>-3$ 不成立 $\checkmark$——即使在最有利的那一点，不等式也照样不成立。