把 1/(2n² + n) 分解成部分分式。

Step-by-step solution

1. 1

   分母因式分解。 两项都含公因式 $n$：

   $2n^2+n=n(2n+1)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n(2n+1)}$

   两个互不相同的一次因式，意味着每个因式各对应一项，不会出现重复幂次。

2. 2

   写出待定形式并去分母。

   $\frac{1}{n(2n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{2n+1}\quad\Longrightarrow\quad 1=A(2n+1)+Bn$

3. 3

   按 $n$ 的幂次合并，再比较系数。

   $1=(2A+B)n+A$

   常数项给出 $A=1$；$n$ 的系数必须为零，于是 $2A+B=0$，因此

   $B=-2A=-2$

4. 4

   写出分解结果。

   $\frac{1}{2n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{2}{2n+1},\qquad n\neq 0,\ n\neq-\tfrac12$

5. 5

   通分还原并代入数值检验。 $\tfrac{(2n+1)-2n}{n(2n+1)}=\tfrac{1}{n(2n+1)}$ $\checkmark$。当 $n=1$：左边 $=\tfrac13$，右边 $=1-\tfrac23=\tfrac13$ $\checkmark$。当 $n=2$：左边 $=\tfrac{1}{10}$，右边 $=\tfrac12-\tfrac25=\tfrac{1}{10}$ $\checkmark$。这个分解正是求级数 $\sum\tfrac{1}{2n^2+n}$ 之和的标准第一步。