展开并分解 (ax + by + ay)² + (bx − ay)(ax + by + ay) + (bx − ay)²。

Step-by-step solution

1. 1

   给两个反复出现的整体命名，结构立刻显形。 令

   $A=ax+by+ay,\qquad B=bx-ay$

   那么整个式子不过就是

   $A^2+AB+B^2$

   只看 $A$ 和 $B$ 的话这个形式是分不开的，所以收益必须来自 $A$、$B$ 内部的构造。把它们全部展开再合并。

2. 2

   逐项展开 $A^2$。 三个加项展开后得到三个平方和三个二倍乘积：

   $A^2=a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+2abxy+2a^2xy+2aby^2$

   留意那个 $2a^2xy$——它来自 $2(ax)(ay)$，是最容易被漏掉的一项。丢了它，最后的答案就变了。

3. 3

   展开交叉项 $AB$ 和平方项 $B^2$。

   $AB=(ax+by+ay)(bx-ay)=abx^2-a^2xy+b^2xy-aby^2+abxy-a^2y^2$

   $B^2=(bx-ay)^2=b^2x^2-2abxy+a^2y^2$

4. 4

   按 $x^2$、$xy$、$y^2$ 三组单项式合并。 这道题的全部功夫就在于把 $xy$ 那一列算干净：

   $x^2:\quad a^2+ab+b^2$

   $xy:\quad \underbrace{2ab+2a^2}_{A^2}\ \underbrace{-a^2+b^2+ab}_{AB}\ \underbrace{-2ab}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   $y^2:\quad \underbrace{b^2+a^2+2ab}_{A^2}\ \underbrace{-ab-a^2}_{AB}\ \underbrace{+a^2}_{B^2}=a^2+ab+b^2$

   三列给出的系数完全相同，都是 $a^2+ab+b^2$。

5. 5

   把这个公共系数提出来。 既然每一组都带着同样的因子，就有

   $A^2+AB+B^2=(a^2+ab+b^2)\left(x^2+xy+y^2\right)$

6. 6

   先代数值验证，再放心用。 取 $a=2$，$b=3$，$x=4$，$y=5$。则 $A=2(4)+3(5)+2(5)=33$，$B=3(4)-2(5)=2$，于是

   $A^2+AB+B^2=1089+66+4=1159$

   而分解式给出 $(4+6+9)(16+20+25)=19\cdot 61=1159$。两者一致，这也排除了把 $xy$ 的系数误写成 $-a^2+ab+b^2$ 这个常见失误。