解不等式 6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ < p。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有项移到一边，再提出 $p$。

   $6p^5-15p^4+10p^3-p<0\quad\Rightarrow\quad p\left(6p^4-15p^3+10p^2-1\right)<0$

   化成"一个整式与零比较"的形式，才有可能列符号表。

2. 2

   找出四次因式的有理根。 按有理根定理逐个试：$p=1$ 时 $6-15+10-1=0$，$p=\tfrac12$ 时 $\tfrac38-\tfrac{15}8+\tfrac52-1=0$。所以 $(p-1)$ 和 $(2p-1)$ 都是因式。把它们除出去，

   $6p^4-15p^3+10p^2-1=(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)$

   （首项系数 $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓，常数项 $(-1)(-1)(-1)=-1$ ✓。）

3. 3

   完成因式分解，列出所有临界点。

   $p(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)<0$

   最后那个因式的根是 $p=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$，即 $-0.26376$ 与 $1.26376$。从小到大排，五个单根依次是

   $-0.26376,\quad 0,\quad 0.5,\quad 1,\quad 1.26376$

4. 4

   每个区间取一个点，列出符号表。 代入原不等式的 $\text{左边}-\text{右边}$：

   $p=-1:\ -30\ (<0)\quad p=-0.2:\ +0.094\quad p=0.25:\ -0.1465\ (<0)$
   $p=0.75:\ +0.1465\quad p=1.1:\ -0.0884\ (<0)\quad p=2:\ +30$

   五个根都是单根，所以符号逐段交替——而首项系数 $6>0$、次数 $5$ 为奇数，迫使式子在最右端为正，这就把整张符号表的格局钉死了。

5. 5

   读出解集。 式子在三个区间上为负：

   $p<\frac{3-\sqrt{21}}{6},\qquad 0<p<\frac12,\qquad 1<p<\frac{3+\sqrt{21}}{6}$

   小心：符号表如果从错的一端起头，得到的正好是这个集合的补集——这个错很容易犯，但也很容易查出来，因为 $p=2$ 必须不满足（$192-240+80=32$，而 $32<2$ 是假的），而 $p=0.25$ 必须满足（$0.1035<0.25$ ✓）。

6. 6

   确认端点都不取。 在五个临界点上两边恰好相等，而不等式是严格的，所以 $\frac{3-\sqrt{21}}{6}$、$0$、$\frac12$、$1$、$\frac{3+\sqrt{21}}{6}$ 都不属于解集。