把 x³ + x² − x − 1 完全分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   把四项两两分组。 一个没有整体公因式的四项三次式，正是分组分解法的经典对象：

   $\left(x^3+x^2\right)+(-x-1)$

2. 2

   两组各自提取，让相同的二项式露出来。 第一组提 $x^2$，第二组提 $-1$：

   $x^2(x+1)-1(x+1)$

   提 $-1$ 而不是 $+1$ 是关键一步：$-x-1=-1(x+1)$。

3. 3

   提出公共的二项式。

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   别就此收手——平方差还得再分。 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，于是出现了一个重复的因式：

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)(x-1)(x+1)=(x+1)^2(x-1)$

5. 5

   展开验算，再用根检验一次。 $(x+1)^2(x-1)=(x^2+2x+1)(x-1)=x^3+x^2-x-1$ $\checkmark$。根是 $x=-1$（二重根）和 $x=1$；把 $x=-1$ 代回原式得 $-1+1+1-1=0$ $\checkmark$。