解一元二次方程 40x² + 98x - 33 = 0。

Step-by-step solution

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   别的都先放下，先算判别式。 取 $a=40$，$b=98$，$c=-33$，

   $\Delta=b^2-4ac=98^2-4(40)(-33)=9604+5280=14884$

   首项系数是 $40$，靠试凑因式分解很难受，所以值得先花一行算出 $\Delta$，看看漂亮的因式到底存不存在。

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   认出 14884 是完全平方数。 把明显的因数 $4$ 提出来：

   $14884=4\cdot 3721,\qquad \sqrt{14884}=2\sqrt{3721}=2\cdot 61=122$

   因为 $61^2=3721$。判别式是完全平方就保证有两个有理根，而这又保证了在整数范围内能干净地因式分解。

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   代入求根公式。

   $x=\frac{-98\pm 122}{2\cdot 40}=\frac{-98\pm 122}{80}$

   两个分支现在都能约成简单的分数，而不是小数。

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   把两个根各自约简。

   $x=\frac{-98+122}{80}=\frac{24}{80}=\frac{3}{10},\qquad x=\frac{-98-122}{80}=\frac{-220}{80}=-\frac{11}{4}$

   一定要约：$24/80$ 和 $-220/80$ 都藏着公因数。

5. 5

   读出因式分解式并验算。 根 $3/10$ 和 $-11/4$ 对应因式 $(10x-3)$ 与 $(4x+11)$，它们的首项系数之积正好是 $10\cdot 4=40$：

   $(10x-3)(4x+11)=40x^2+110x-12x-33=40x^2+98x-33$

   中间项还原成了 $98x$，所以两个根和因式分解形式都得到确认。