解不等式 |x − 1| + |x + 1| < 4。

Step-by-step solution

1. 1

   找出折点。 每个绝对值都在它内部为零的地方换一次表达式：分别在 $x=1$ 和 $x=-1$ 处。这两点把数轴分成 $x<-1$、$-1\le x<1$ 和 $x\ge1$ 三段，在每一段上两个绝对值都变成普通的一次式。

2. 2

   情形 1：x < −1（两个绝对值内部都为负）。 此时 $|x-1|=1-x$，$|x+1|=-x-1$，两者之和是 $-2x$：

   $-2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x>-2$

   两边除以 $-2$ 时不等号要变向。把 $x>-2$ 和该情形的条件 $x<-1$ 取交集，得 $-2<x<-1$。

3. 3

   情形 2：−1 ≤ x < 1（内部符号一正一负）。 这里 $|x-1|=1-x$，$|x+1|=x+1$，含 $x$ 的项正好抵消：

   $(1-x)+(x+1)=2<4$

   恒成立，所以整个区间 $[-1,1)$ 都属于解集。在两个折点之间，这个和是常数 $2$。

4. 4

   情形 3：x ≥ 1（两个绝对值内部都非负）。 此时和为 $(x-1)+(x+1)=2x$：

   $2x<4\qquad\Longrightarrow\qquad x<2$

   与 $x\ge1$ 取交集，得 $1\le x<2$。

5. 5

   把三种情形并起来。

   $(-2,-1)\cup[-1,1)\cup[1,2)=(-2,2)$

   三段在折点处无缝衔接，拼成一个区间：

   $-2<x<2$

6. 6

   用距离的眼光读答案，并验证。 $|x-1|+|x+1|$ 就是 $x$ 到 $1$ 和到 $-1$ 的距离之和。它的最小值是这两点之间的间距 $2$，在两点之间处处取到；出了这个范围，每走一个单位就增加 $2$。所以它恰好在每个折点外一个单位处达到 $4$ —— 也就是 $x=-2$ 和 $x=2$。验一下：$x=-2$ 时 $|{-3}|+|{-1}|=4$ ✓，$x=2$ 时 $|1|+|3|=4$ ✓，两者都被严格不等号排除在外。在 $[-6,6]$ 上扫 $12{,}001$ 个点，每一点的结果都与 $(-2,2)$ 相符 ✓。