求不等式 ax² + (3a − 4)x − 12 ≥ 0 的解集，并对参数 a 的各种情况分类讨论。

Step-by-step solution

1. 1

   先把退化情形 a = 0 单独拎出来。 $x^2$ 的系数就是参数本身，所以这个不等式未必是二次的。若 $a = 0$，它退化成一次不等式：

   $-4x - 12 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x \le -3$

   解集为 $(-\infty, -3]$。后面的所有情形都默认 $a \ne 0$。

2. 2

   算判别式，注意它是一个完全平方。 当 $a \ne 0$ 时，

   $\Delta = (3a-4)^2 + 48a = 9a^2 - 24a + 16 + 48a = 9a^2 + 24a + 16 = (3a+4)^2$

   因为对任何实数 $a$ 都有 $\Delta \ge 0$，这个二次式永远有实根——根本不需要「无实根」这一支。这正是本题赖以成立的结构性事实。

3. 3

   把两个根精确求出来。

   $x = \frac{4 - 3a \pm |3a+4|}{2a} \quad \Longrightarrow \quad x_1 = \frac{8}{2a} = \frac{4}{a}, \qquad x_2 = \frac{-6a}{2a} = -3$

   可见对任何 $a$，总有一个根被钉死在 $x = -3$，另一个根随 $a$ 滑动。于是

   $ax^2 + (3a-4)x - 12 = a(x+3)\left(x - \frac{4}{a}\right)$

   展开回去正是 $ax^2 + 3ax - 4x - 12$——就是原式。

4. 4

   情形 a > 0：抛物线开口向上。 此时 $4/a > 0 > -3$，两根的大小顺序是 $-3 < 4/a$，表达式在两根之外非负：

   $x \le -3 \quad \text{或} \quad x \ge \frac{4}{a}, \qquad \text{即} \quad (-\infty,-3] \cup \left[\tfrac{4}{a}, +\infty\right)$

5. 5

   情形 a < 0：抛物线开口向下，要比较两根大小。 这时表达式在两根之间非负，而 $-3$ 与 $4/a$ 的大小顺序取决于 $a$。由 $4/a = -3 \iff a = -\tfrac43$ 得：

   $-\tfrac43 < a < 0: \ \ \frac4a < -3 \ \Longrightarrow \ \left[\tfrac4a,\, -3\right]$

   $a = -\tfrac43: \ \ \frac4a = -3 \ \Longrightarrow \ \{-3\} \ \ (\Delta = 0,\ \text{只剩一个点})$

   $a < -\tfrac43: \ \ -3 < \frac4a \ \Longrightarrow \ \left[-3,\, \tfrac4a\right]$

   中间那一档最容易漏：当 $a = -\tfrac43$ 时两根重合，解集缩成一个点。

6. 6

   汇总完整答案。

   $a = 0:\ (-\infty,-3] \qquad a > 0:\ (-\infty,-3]\cup\left[\tfrac4a,\infty\right)$

   $a < 0:\ \left[\min\left(-3,\tfrac4a\right),\ \max\left(-3,\tfrac4a\right)\right]$

   取 $a = 2$ 抽查：不等式为 $2x^2+2x-12 \ge 0$，即 $2(x+3)(x-2) \ge 0$，得 $x \le -3$ 或 $x \ge 2 = 4/a$，与结论一致。