求证：若一个方阵与所有同阶方阵都可交换，则它一定是单位矩阵的数量倍。

Step-by-step solution

1. 1

   先选对试验矩阵。 不要取一般的 $B$，而要取矩阵单位 $E_{ij}$——即第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $1$、其余元素全为 $0$ 的矩阵。既然 $A$ 与任何矩阵都可交换，它自然与每一个 $E_{ij}$ 都可交换。

2. 2

   把两个乘积分别算出来。 记 $A = (a_{kl})$：

   $AE_{ij} \text{ 就是把第 } i \text{ 列，也就是 } A \text{ 的这一列，放到列号 } j$
   $E_{ij}A \text{ 就是把第 } j \text{ 行，也就是 } A \text{ 的这一行，放到行号 } i$

3. 3

   逼出非对角元全为零。 令 $AE_{ij} = E_{ij}A$ 并逐个比较对应元素，得到只要 $k \ne i$ 就有 $a_{ki} = 0$。由于 $i$ 和 $j$ 是任意取的，$A$ 的每一个非对角元都为零，所以 $A$ 是对角矩阵。

4. 4

   再逼出对角元彼此相等。 比较剩下的那些元素，得到对一切 $i, j$ 都有 $a_{ii} = a_{jj}$。于是所有对角元都等于同一个数 $\lambda$。

5. 5

   下结论。 对角元全部等于 $\lambda$ 的对角矩阵，恰好就是 $\lambda I_n$。（反过来是显然的：$\lambda I$ 与任何矩阵都可交换。）这也就是说，矩阵环 $M_n(F)$ 的中心正好由全体数量矩阵组成。