解方程 2x² = 2x + 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先化成一般形式。 求根公式要求 $ax^{2}+bx+c=0$，所以两边同减 $2x+1$：

   $2x^{2}-2x-1=0$

   得到 $a=2$、$b=-2$、$c=-1$。注意 $c$ 是负的：$+1$ 移到左边要变号。

2. 2

   先算判别式，好决定用什么方法。

   $\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(2)(-1)=4+8=12$

   $-4(2)(-1)=+8$ 这个「负负得正」是要盯住的一步。因为 $\Delta=12>0$，有两个不相等的实根；但 $12$ 不是完全平方数，所以根是无理数，不存在整数系数的因式分解——求根公式才是对的工具。

3. 3

   代入求根公式。

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}$

4. 4

   化简根式并约分。 因为 $12=4\cdot3$，所以 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$：

   $x=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\left(1\pm\sqrt{3}\right)}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$

   公因数 $2$ 必须从分子的两项里同时约掉——只约掉前面那个 $2$ 是典型错误。

5. 5

   用韦达定理和代入两种方式检验。 两根之和应为 $-b/a=1$，两根之积应为 $c/a=-\tfrac12$：

   $\frac{1+\sqrt3}{2}+\frac{1-\sqrt3}{2}=1\ \checkmark,\qquad\frac{(1)^{2}-(\sqrt3)^{2}}{4}=\frac{1-3}{4}=-\frac12\ \checkmark$

   数值上两根为 $\approx1.3660$ 与 $\approx-0.3660$，把任一个代入 $2x^{2}-2x-1$，残差都小于 $10^{-12}$ ✓。