把 x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 完全分解因式。

Step-by-step solution

1. 1

   认出这是等比数列的和。 六项分别是 $x^0$ 到 $x^5$，公比为 $x$，所以当 $x\neq 1$ 时

   $1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac{x^6-1}{x-1}$

   这就把一个不好下手的五次式变成了幂的差，而幂的差有现成的分解公式。

2. 2

   把 $x^6-1$ 拆成平方差。 把 $x^6$ 读成 $(x^3)^2$，得到

   $x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$

3. 3

   再用立方差和立方和公式分解这两个三次式。

   $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\qquad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$

4. 4

   约掉 $x-1$。 把上面的结果全部代回，

   $\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}{x-1}=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

   作为多项式恒等式，这个约分是合法的——原来的五次式并不含因式 $x-1$，因为代入 $x=1$ 得到的是 $6$ 而不是 $0$。

5. 5

   用分组法交叉验证。 把各项配对：$x^4(x+1)+x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^4+x^2+1)$，而 $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$（加上再减去 $x^2$ 凑出平方差）。走一条完全不同的路，得到了同样的答案。

6. 6

   数值确认，并检查不可约性。 取 $x=2$：原式是 $32+16+8+4+2+1=63$，而 $(3)(7)(3)=63$ ✓。每个二次因式的判别式都是 $1-4=-3<0$，所以在实数范围内都不能再分——分解已经完整。