解方程 0.097x² − 2.3289x + 4.9064133 = 0。

Step-by-step solution

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   先认清系数，再挑合适的工具。 这里 $a=0.097,\qquad b=-2.3289,\qquad c=4.9064133.$ 它在整数范围内无法因式分解，而配方法一上来就得除以 $0.097$，所以求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 是最干净的路子。

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   判别式要算足精度。 $b^{2}=(-2.3289)^{2}=5.42377521,$ $4ac=4(0.097)(4.9064133)=1.90368836\underline{04},$ $D=b^{2}-4ac=5.42377521-1.9036883604=3.5200868496.$ 如果这么早就把 $4ac$ 四舍五入成 $1.904$，根就会在小数点后第三位上跑偏——因为下一步要除以 $0.194$ 这个小数，任何误差都会被放大十倍。

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   开平方。 $\sqrt{D}=\sqrt{3.5200868496}=1.876189449\ldots$ 由于 $D>0$，方程有两个不相等的实根；对于一条开口向上、一次项系数为负而常数项为正的抛物线，这正是我们该预期的结果。

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   除以 $2a$。 由 $2a=0.194$， $x=\frac{2.3289\pm 1.876189449}{0.194}.$ 取加号得 $x=\frac{4.205089449}{0.194}=21.67571881,$ 取减号得 $x=\frac{0.452710551}{0.194}=2.33355954.$

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   用代入法和系数关系两头验算。 把 $x=21.67571881$ 与 $x=2.33355954$ 代回 $0.097x^{2}-2.3289x+4.9064133$，结果在十位小数上都是 $0$。再用韦达定理复核：两根之和应为 $-b/a=2.3289/0.097=24.0092784$，而 $21.67571881+2.33355954=24.00927835$；两根之积应为 $c/a=4.9064133/0.097=50.5815804$，而 $21.67571881\times 2.33355954=50.58158$。