化简 (x + 1)³ - 2(x + 1)²(x - 1) - (x + 1)(x - 1)² + 2(x - 1)³。

Step-by-step solution

1. 1

   先注意：这次没有可以走的捷径公因式。 与末项是 $2(x+1)^3$ 的那道变体不同，这里末项是 $2(x-1)^3$，所以 $(x+1)$ 并不是每一项的因式。稳妥的走法是把四个乘积全部展开再合并。

2. 2

   逐项展开。

   $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$

   $-2(x+1)^2(x-1)=-2\left(x^2+2x+1\right)(x-1)=-2\left(x^3+x^2-x-1\right)=-2x^3-2x^2+2x+2$

   $-(x+1)(x-1)^2=-\left(x^2-1\right)(x-1)=-\left(x^3-x^2-x+1\right)=-x^3+x^2+x-1$

   $2(x-1)^3=2\left(x^3-3x^2+3x-1\right)=2x^3-6x^2+6x-2$

3. 3

   把三次项的系数加起来。

   $1-2-1+2=0$

   所以 $x^3$ 的项全部消掉，结果最高只到二次——和那道姊妹题一样的结构性「意外」，只不过是从另一条路走到的。

4. 4

   把其余各次的系数也加起来。 $x^2$ 项：$3-2+1-6=-4$。$x$ 项：$3+2+1+6=12$。常数项：$1+2-1-2=0$。于是得到

   $-4x^2+12x$

5. 5

   分解因式并验算。

   $-4x^2+12x=4x(3-x)=-4x(x-3)$

   取 $x=1$：原式为 $8-2(4)(0)-2(0)+0=8$，而 $4(1)(2)=8\;\checkmark$。取 $x=3$：原式为 $64-2(16)(2)-4(4)+2(8)=64-64-16+16=0$，而 $4(3)(0)=0\;\checkmark$——分解形式正确地预言了 $x=0$ 与 $x=3$ 两个根。