对 x³ − 5x² − 7x + 41 因式分解，或求出它的根。

Step-by-step solution

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   先试有理根。 由有理根定理，首项系数是 $1$，所以任何有理根都必须整除常数项 $41$——而 $41$ 是素数，因此候选值只有 $\pm1$ 和 $\pm41$：

   $f(1)=1-5-7+41=30,\qquad f(-1)=-1-5+7+41=42$

   而 $f(\pm 41)$ 由 $41^3$ 主导，离零远得很。所以它没有有理根，这个三次式在 $\mathbb{Q}$ 上不能分解。

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   别就此收手——数一数变号次数。 无理根照样可能存在，而三次式至少有一个实根。把 $f$ 列成表：

   $f(-3)=-10,\quad f(0)=41,\quad f(3)=2,\quad f(4)=-3,\quad f(5)=6$

   这里出现了三次变号：$(-3,0)$ 上一次、$(3,4)$ 上一次、$(4,5)$ 上一次。所以这个三次式有三个互不相同的实根，而不是一个——流传的那种「它只有一个实根、在 $-2.721$ 附近」的说法错了两处，因为 $f(-2.721)=2.88$ 也根本不是零。

3. 3

   用导数的判别式确认确实有三个根。 $f'(x)=3x^2-10x-7$ 的根是 $x=\frac{10\pm\sqrt{184}}{6}$，也就是在 $x=-0.60$ 附近有一个极大值、在 $x=3.93$ 附近有一个极小值。由于 $f(-0.60)\approx 43.2>0$ 而 $f(3.93)\approx -3.0<0$，曲线先升到横轴上方，再下潜到横轴下方，然后又升上来——正是三次穿越横轴的那种形态。

4. 4

   用二分法逐个定位。 把每个区间收缩到机器精度：

   $x_1=-2.7875545,\qquad x_2=3.2205249,\qquad x_3=4.5670296$

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   用韦达定理验算。 对 $x^3-5x^2-7x+41$，三个根必须满足 $\sum x_i=5$、$\sum_{i<j}x_ix_j=-7$ 和 $x_1x_2x_3=-41$。数值上算出来正好是 $5.000$、$-7.000$ 和 $-41.000$ ✓，所以三个根都对，而且一个都没漏。

6. 6

   给出结论。 这个多项式在有理数范围内不可约，但在实数范围内可以分解为

   $f(x)\approx (x+2.7875545)(x-3.2205249)(x-4.5670296)$