解方程 x² = 2x + 17。

Step-by-step solution

1. 1

   移项化成标准形式。 两边减去 $2x$ 和 $17$，让一边为零：

   $x^{2}-2x-17=0$

   于是 $a=1$，$b=-2$，$c=-17$。搬过去的两项都要变号。

2. 2

   计算判别式。

   $\Delta=(-2)^{2}-4(1)(-17)=4+68=72$

   因为 $\Delta=72>0$，所以有两个不相等的实根。它不是完全平方数，所以在整数范围内分解是做不到的 —— 没有哪一对整数积为 $-17$ 且和为 $-2$，毕竟 $17$ 是质数。

3. 3

   套求根公式。

   $x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{72}}{2(1)}=\frac{2\pm\sqrt{72}}{2}$

4. 4

   先化简根号，再约分。 把最大的平方因数提出来：$72=36\cdot2$，所以 $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。于是

   $x=\frac{2\pm6\sqrt{2}}{2}=\frac{2\left(1\pm3\sqrt{2}\right)}{2}=1\pm3\sqrt{2}$

   把 $\sqrt{72}$ 留着不化简，就会把公因数 $2$ 藏起来，让这次干净的约分做不下去。

5. 5

   验证两个根。 韦达定理：两根之和应为 $-b/a=2$，而 $\left(1+3\sqrt2\right)+\left(1-3\sqrt2\right)=2$ ✓。两根之积应为 $c/a=-17$，而 $1^{2}-\left(3\sqrt2\right)^{2}=1-18=-17$ ✓。数值上 $x\approx5.2426$、$x\approx-3.2426$，代入 $x^{2}-2x-17$ 后残差都低于 $10^{-11}$ ✓。