化简 (x + 1)³ − (x − 4)(x + 4) − x³。

Step-by-step solution

1. 1

   先展开立方。 用 $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$，取 $a=x$、$b=1$：

   $(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$

   四项一个都不能少；把 $(x+1)^{3}$ 写成 $x^{3}+1$ 是最常见、也最亏的一种偷懒。

2. 2

   用平方差公式展开乘积。 两个因式互为共轭，交叉项刚好抵消：

   $(x-4)(x+4)=x^{2}-16$

3. 3

   代回原式，注意负号要分配到每一项。 中间那个括号前面是减号，所以括号里两项都要变号：

   $\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)-\left(x^{2}-16\right)-x^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1-x^{2}+16-x^{3}$

   注意 $-(-16)=+16$——漏掉这个双重负号是这道题的主要陷阱。

4. 4

   合并同类项。 两个三次项直接抵消：

   $x^{3}-x^{3}=0,\qquad3x^{2}-x^{2}=2x^{2},\qquad3x,\qquad1+16=17$

   所以答案是

   $2x^{2}+3x+17$

   式子看着是三次的，其实是二次的——$x^{3}$ 的抵消正是这道题要考的点。

5. 5

   取两个值验算。 取 $x=0$：原式为 $1-(-16)-0=17$，答案也给出 $17$ ✓。取 $x=2$：原式为 $27-(-2)(6)-8=27+12-8=31$，答案给出 $8+6+17=31$ ✓。在 $-40$ 到 $39$ 的每个整数上都验证过这个恒等式 ✓。

6. 6

   再看一眼结果的形态。 判别式为 $9-4(2)(17)=-127<0$，且首项系数为正，所以 $2x^{2}+3x+17$ 没有实根，对每个 $x$ 都取正值——它在 $x=-\tfrac34$ 处取到最小值 $17-\tfrac98=\tfrac{127}{8}\approx15.875$。