解方程 x²(x⁴ + 104x² + 40x) = 10000，求出所有实数解，精确到小数后六位。

Step-by-step solution

1. 1

   展开，并把所有项移到一边。 把 $x^{2}$ 乘进去：

   $x^{2}\cdot x^{4}+x^{2}\cdot 104x^{2}+x^{2}\cdot 40x=x^{6}+104x^{4}+40x^{3},$

   于是方程变成

   $f(x)=x^{6}+104x^{4}+40x^{3}-10000=0.$

   注意式子里没有 $x^{5}$、$x^{2}$ 和 $x$ 项 —— 这个多项式很稀疏，但并不是换元 $u=x^{3}$ 能降次的那种形状（$x^{6}+bx^{3}+c$），因为中间多了一个 $104x^{4}$。

2. 2

   先排除有理根。 由有理根定理，可能的根只能取 $10000$ 的因数：$\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm8,\pm10,\pm16,\pm20,\pm25,\ldots$ 试算几个小的，

   $f(2)=64+1664+320-10000=-7952,\qquad f(3)=729+8424+1080-10000=233,$

   $f(-3)=729+8424-1080-10000=-1927,\qquad f(-4)=4096+26624-2560-10000=18160.$

   一个都不为零，也不存在拆成有理系数二次式的分解，所以只能数值求根。

3. 3

   把变号的位置框住 —— 一共有两处，不是一处。 上面那四个值已经把两处都暴露出来了：

   $f(-4)>0>f(-3)\quad\text{且}\quad f(2)<0<f(3),$

   所以由介值定理，$(-4,-3)$ 里有一个根，$(2,3)$ 里还有一个。以 $0.001$ 为步长在 $[-10,10]$ 上把 $f$ 扫一遍，恰好只找到这两处变号，所以这个六次方程有两个实根（其余四个是复根）。只找到正根就收手 —— 这是最容易犯的错 —— 会丢掉一半答案。

4. 4

   对每个区间二分到足够精度。 反复取半，并保留 $f$ 在其上变号的那一半：

   $x_{+}\in(2,3)\to 2.982928,\qquad x_{-}\in(-4,-3)\to-3.152475.$

   各二分约 40 次后都收敛到 $|f|<10^{-11}$。有些地方流传的 $2.9833$ 略嫌粗糙：$f(2.9833)\approx +5.04$，并不是 $0$。

5. 5

   把两个根都代回去检验。 取 $x=2.982928$：$x^{2}=8.897859$，而 $x^{4}+104x^{2}+40x=79.172+925.377+119.317=1123.87$，两者之积为 $10000.0$ ✓。取 $x=-3.152475$：$x^{2}=9.938099$，括号里算得 $1006.23$，乘积同样是 $10000.0$ ✓。两个根并不对称，原因就在那个奇次项 $40x^{3}$。