把 (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² 因式分解，其中把 y′ 看作未知数。

Step-by-step solution

1. 1

   把导数记号当成未知数来看。 按 $y^{\prime}$ 的降幂排列，这个式子就是一个普通的二次式：

   $\left(y^{\prime}\right)^2-\left(4x^2\right)y^{\prime}+\left(4x^4-x^2\right)$

   认清哪个符号在扮演未知数，是这道题真正需要做的第一个判断；那些 $x$ 的幂只是系数而已。

2. 2

   在前三项里找出藏着的完全平方。 $\left(y^{\prime}\right)^2$、$-4x^2y^{\prime}$ 和 $4x^4$ 这三块正好符合 $a^2-2ab+b^2$ 的形式，其中 $a=y^{\prime}$、$b=2x^2$：

   $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2$

   常数项之所以被特意拆成 $4x^4$ 再加上多出来的 $-x^2$，就是为了凑出这个分组。

3. 3

   把整个式子改写成两个平方之差。

   $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2=\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-(x)^2$

4. 4

   套用 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$。 取 $A=y^{\prime}-2x^2$、$B=x$：

   $\left(y^{\prime}-2x^2-x\right)\left(y^{\prime}-2x^2+x\right)$

5. 5

   展开回去验算。 两个因式的乘积是 $\left(y^{\prime}-2x^2\right)^2-x^2$，展开后正是 $\left(y^{\prime}\right)^2-4x^2y^{\prime}+4x^4-x^2\;\checkmark$。再取一组数值抽查，令 $y^{\prime}=5$、$x=1$：原式是 $25-20+4-1=8$，两个因式相乘得 $(5-2-1)(5-2+1)=2\cdot 4=8\;\checkmark$。