解方程组：(1/3)x − (1/3)y = −1，−(1/3)x + (1/2)y = −w，(1/3)z = w，x = 30 + z，求 x、y、z、w。

Step-by-step solution

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   先把第一个方程的分数去掉。 两边乘 $3$：

   $x - y = -3 \ \Longrightarrow \ y = x + 3$

   四个方程四个未知数看着吓人，但其中两个（$\tfrac13 z = w$ 和 $x = 30 + z$）本身就是现成的代入式，真正要做的工作并不多。

2. 2

   把所有量都用 z 表示。 由 $x = 30 + z$ 和 $y = x + 3$ 得

   $x = 30 + z, \qquad y = 33 + z, \qquad w = \frac{z}{3}$

   现在每个未知数都是单变量 $z$ 的函数——只剩第二个方程还没用上，它将把 $z$ 钉死。

3. 3

   代入剩下的那个方程。

   $-\frac{1}{3}(30 + z) + \frac{1}{2}(33 + z) = -\frac{z}{3}$

   $-10 - \frac{z}{3} + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = -\frac{z}{3}$

4. 4

   约去相同项，解出 z。 $-\frac{z}{3}$ 在两边一模一样地出现，直接抵消，剩下

   $-10 + \frac{33}{2} + \frac{z}{2} = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{z}{2} = 10 - \frac{33}{2} = -\frac{13}{2} \ \Longrightarrow \ z = -13$

   正是这次抵消，让整个方程组一行就解完，而不必在四个方程之间来回消元。

5. 5

   回代求出另外三个未知数。

   $x = 30 + (-13) = 17, \qquad y = 33 + (-13) = 20, \qquad w = \frac{-13}{3} = -\frac{13}{3}$

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   逐一验证四个方程。 $\tfrac13(17) - \tfrac13(20) = -1 \ \checkmark$；$-\tfrac13(17) + \tfrac12(20) = -\tfrac{17}{3} + 10 = \tfrac{13}{3} = -w \ \checkmark$；$\tfrac13(-13) = -\tfrac{13}{3} = w \ \checkmark$；$30 + (-13) = 17 = x \ \checkmark$。四个都严格成立。