解方程 x³ − 3x² + 3x − 2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   在系数里找完全立方的影子。 恒等式

   $(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1$

   的系数是 $1,-3,3,-1$——除了常数项，其余与题目里的三次式一模一样。$1,3,3,1$ 这组系数（杨辉三角的一行）就是识别它的线索。

2. 2

   照这个规律把三次式改写。 因为常数项是 $-2$ 而不是 $-1$，

   $x^{3}-3x^{2}+3x-2=\left(x^{3}-3x^{2}+3x-1\right)-1=(x-1)^{3}-1$

3. 3

   把方程化成纯粹的立方。

   $(x-1)^{3}-1=0\ \Longrightarrow\ (x-1)^{3}=1$

4. 4

   取实立方根。 和平方根不同，实立方根是单值的：立方等于 $1$ 的实数只有 $1$ 本身，所以

   $x-1=1\ \Longrightarrow\ x=2$

5. 5

   交代另外两个根。 在复数范围内，$(x-1)^{3}=1$ 还允许 $x-1=\omega$ 与 $x-1=\omega^{2}$，其中 $\omega=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i$，对应两个非实根 $x=\tfrac12\pm\tfrac{\sqrt3}{2}i$。等价地，按立方差分解可得 $(x-2)\left(x^{2}-x+1\right)=0$，而 $x^{2}-x+1$ 的判别式为 $-3<0$。

6. 6

   验算这个实根。 $2^{3}-3(2)^{2}+3(2)-2=8-12+6-2=0\ \checkmark$