解不等式 |2x − 3| ≤ x − 1。

Step-by-step solution

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   第一步先逼出右边非负的条件。 左边是绝对值，所以 $\ge 0$。若 $x-1<0$，不等式根本不可能成立，于是得到一个硬性要求：

   $x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 1$

   这道"门槛"正是右边含未知数与右边是常数的区别所在——跳过它就会捞进虚假解。

2. 2

   把绝对值换成夹逼式。 当 $b\ge 0$ 时，$|A|\le b$ 等价于 $-b\le A\le b$。取 $A=2x-3$，$b=x-1$：

   $-(x-1)\le 2x-3\le x-1$

3. 3

   解左半边。 去括号并整理：

   $-x+1\le 2x-3\;\Longrightarrow\;4\le 3x\;\Longrightarrow\;x\ge\frac{4}{3}$

4. 4

   解右半边。 两边减 $x$、加 $3$：

   $2x-3\le x-1\;\Longrightarrow\;x\le 2$

5. 5

   把三个条件求交集。 需要 $x\ge 1$、$x\ge\frac43$ 和 $x\le 2$ 同时成立，起决定作用的是后两个：

   $\frac{4}{3}\le x\le 2$

   检验端点：$x=\tfrac43$ 时 $\left|\tfrac83-3\right|=\tfrac13$，而 $x-1=\tfrac13$ $\checkmark$；$x=2$ 时 $|1|=1$，而 $x-1=1$ $\checkmark$。区间外取 $x=3$：$|3|=3\not\le 2$ $\checkmark$。