展开并化简 (1 − 2x)(5 − 3x) + (4 − x)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先用 FOIL 展开那个乘积。 拿第一个括号里的每一项去乘第二个括号里的每一项，符号要盯紧：

   $(1-2x)(5-3x)=5-3x-10x+6x^{2}=6x^{2}-13x+5$

   最后一项 $(-2x)(-3x)=+6x^{2}$ 是正的，因为负负得正。

2. 2

   再用完全平方公式展开那个平方。 取 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，其中 $a=4$、$b=x$：

   $(4-x)^{2}=16-8x+x^{2}$

   展开后是三项——写成 $16-x^{2}$ 或 $16+x^{2}$，就把最关键的中间项 $-8x$ 弄丢了。

3. 3

   把两次展开的结果加到一起。

   $\left(6x^{2}-13x+5\right)+\left(16-8x+x^{2}\right)$

4. 4

   按次数合并同类项。

   $6x^{2}+x^{2}=7x^{2},\qquad-13x-8x=-21x,\qquad5+16=21$

   于是得到

   $7x^{2}-21x+21$

5. 5

   验证结果，顺便留意那个公因数。 取 $x=1$：原式是 $(-1)(2)+9=7$，答案给出 $7-21+21=7$ ✓。在 $-30$ 到 $29$ 之间的每个整数上恒等式都成立 ✓。三个系数都含公因数 $7$，所以结果也可以写成 $7\left(x^{2}-3x+3\right)$；括号里那个二次式的判别式是 $9-12=-3<0$，所以它在实数范围内再也分解不下去，而且整个式子恒为正。