求 6^x = x^18 的全部实数解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定义域理清。 当 $x>0$ 时两边都为正。当 $x<0$ 时，由于指数是偶数，右边 $x^{18}$ 仍然为正，而 $6^x>0$ 也成立，所以负的 $x$ 是允许的。在 $x=0$ 处得到 $1=0$，不成立，所以 $x=0$ 要排除。

2. 2

   把正数情形化归为一个「先增后减」的函数。 对 $x>0$，把 $6^x=x^{18}$ 两边取对数：

   $x\ln 6=18\ln x\quad\Longrightarrow\quad\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 6}{18}\approx 0.0995422$

   函数 $g(x)=\tfrac{\ln x}{x}$ 的导数是 $g'(x)=\tfrac{1-\ln x}{x^2}$，所以它在 $(0,e]$ 上递增、在 $[e,\infty)$ 上递减，最大值为 $g(e)=\tfrac1e\approx 0.3679$。由于 $0<0.0995<\tfrac1e$，那条水平线与它恰好相交两次。

3. 3

   看出那个较大的精确根。 试 $x=36$：因为 $36=6^2$，

   $36^{18}=\left(6^2\right)^{18}=6^{36}$

   所以 $x=36$ 精确地满足方程。用 $g$ 再确认一次：$\tfrac{\ln 36}{36}=\tfrac{3.583519}{36}=0.0995422$ $\checkmark$。

4. 4

   用数值方法找那个较小的正根。 它必定落在 $(1,e)$ 内，因为 $g(1)=0$ 而 $g$ 一路增到 $g(e)$。对 $g(x)-0.0995422$ 做二分，得

   $x\approx 1.1176815$

   检验：$6^{1.1176815}\approx 7.4084$，$1.1176815^{18}\approx 7.4084$ $\checkmark$。

5. 5

   证明负根恰好只有一个。 令 $x=-t$，其中 $t>0$；方程变成 $6^{-t}=t^{18}$，即 $h(t)=6^{t}t^{18}=1$。由于

   $\frac{d}{dt}\ln h(t)=\ln 6+\frac{18}{t}>0$

   $h$ 从 $0$ 严格单调递增到 $\infty$，所以 $h(t)=1$ 恰有一个解。二分给出 $t\approx 0.9131150$，即 $x\approx-0.9131150$；此处 $6^{x}\approx 0.194741$，$x^{18}\approx 0.194741$ $\checkmark$。

6. 6

   把三个根汇总。 一个负根、两个正根，由上面的单调性论证可知再无其它：

   $x\approx-0.91311,\qquad x\approx 1.11768,\qquad x=36$