把分数 81/16 写成幂的形式。底数和指数各取什么？81/16 是某个整数的次幂吗？

Step-by-step solution

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   把分子和分母都分解成素数的幂。 连续做除法得

   $81=3\cdot 27=3\cdot 3\cdot 9=3^{4},\qquad 16=2\cdot 8=2\cdot 2\cdot 4=2^{4}.$

   先分解的目的，就是看两个指数是否相同——这恰恰是「整个分数能写成一个幂」的条件。

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   反过来用同指数的商的运算法则。 因为两个指数都是 $4$，法则 $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ 可以直接套用：

   $\frac{81}{16}=\frac{3^{4}}{2^{4}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   大多数同学都是从左往右用这个恒等式；而把它从右往左读，才是把分数变成幂的那一步。

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   检查指数还能不能降下来。 $\tfrac{81}{16}$ 能不能用更小的指数写出来，比如写成一个平方？那需要 $\left(\tfrac{3}{2}\right)^{4}=t^{2}$，其中 $t=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac94$，于是确实有

   $\frac{81}{16}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   两种写法都对；$\left(\tfrac32\right)^{4}$ 是底数最小的那一种，而指数 $4$ 已经是最大可能，因为 $3$ 和 $2$ 都是素数。

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   回答「是不是整数的次幂」。 化成小数是 $\tfrac{81}{16}=5.0625$，不是整数，所以它不可能等于 $m^{k}$（$m$ 为整数，$k\ge 1$）。底数必然是分数——一个既约分数要成为整数的次幂，只有在分母是 $1$ 的时候。

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   用精确分数而不是小数来验算。 用分数算 $\left(\tfrac32\right)^{4}$：$\tfrac32\cdot\tfrac32=\tfrac94$，再 $\tfrac94\cdot\tfrac94=\tfrac{81}{16}$ ✓。用精确分数验算而不是靠 $1.5^{4}=5.0625$，可以免去一切关于舍入的疑虑。