把 x³ + 3x² + 7x + 5 分解到底，并求出它的全部根。

Step-by-step solution

1. 1

   先列出可能的有理根。 常数项是 $5$，首项系数是 $1$，由有理根定理，候选值是

   $x=\pm1,\ \pm5$

2. 2

   从绝对值小的开始试。

   $f(-1)=-1+3-7+5=0\ \checkmark$

   所以 $x=-1$ 是根，$(x+1)$ 是一个因式。（补充验证：$f(1)=16$，$f(5)=240$，$f(-5)=-80$，可见 $-1$ 是唯一的有理根。）当所有系数都为正时，优先试负的候选值总是划算的，因为正的 $x$ 永远不可能让这些正项之和为零。

3. 3

   用综合除法除以 (x + 1)。 拿根 $-1$ 去作用于系数 $1,\ 3,\ 7,\ 5$：

   $1\ \to\ 3-1=2\ \to\ 7-2=5\ \to\ 5-5=0$

   余数为零，既确认了这个根，也给出商式 $x^2+2x+5$：

   $x^3+3x^2+7x+5=(x+1)\left(x^2+2x+5\right)$

4. 4

   再看这个二次式还能不能继续分解。 它的判别式是

   $2^2-4(1)(5)=4-20=-16<0$

   判别式为负，所以 $x^2+2x+5$ 在实数范围内不可约，无论在 $\mathbb{Q}$ 上还是在 $\mathbb{R}$ 上，分解都已经到底了。

5. 5

   求出全部三个根。 由求根公式，$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$。于是

   $x=-1,\qquad x=-1+2i,\qquad x=-1-2i$

   有意思的是三个根的实部都是 $-1$。配方可以解释这一点：$x^2+2x+5=(x+1)^2+4$，所以那对共轭复根正好落在实根的正上方和正下方。

6. 6

   验证。 在 $-30$ 到 $29$ 的每一个整数处，分解式与原式都吻合 ✓；代入 $x=-1$ 恰好得到 $0$ ✓；三根之和为 $-3=-b/a$ ✓，三根之积为 $-\left((-1)^2+2^2\right)=-5=-d/a$ ✓。