解不等式 −x² + 6x − 10 > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平方项系数变成正的。 两边乘 $-1$，同时把不等号变向：

   $x^2-6x+10<0$

2. 2

   用判别式看有没有实根。 取 $a=1$、$b=-6$、$c=10$：

   $\Delta=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4<0$

   判别式为负意味着抛物线与 $x$ 轴没有交点，因此这个表达式永远不会变号。

3. 3

   确定它恒定的那个符号。 因为 $a=1>0$，抛物线开口向上，整条曲线都在横轴上方。配方能把这一点写得很明白：

   $x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1>0$

   最小值是 $1$，在 $x=3$ 处取到。

4. 4

   下结论。 一个恒不小于 $1$ 的表达式绝不可能 $<0$，所以解集是空集：

   $x\in\varnothing$

5. 5

   直接对原式再确认一次。 对任意实数 $x$ 都有 $-x^2+6x-10=-\left[(x-3)^2+1\right]\le-1<0$，所以它从来不是正数 $\checkmark$。在顶点 $x=3$ 处抽查：$-9+18-10=-1$，这已经是左边能取到的最大值了。