设 a、b 为实数，不等式组 x² − 5x + a < 0 与 x² + 3x + b < 0 的解集为 1 < x < 2，求有序数对 (a, b)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把条件翻译成区间语言。 两个不等式左边都是开口向上的抛物线，所以各自的解集都是该二次式两根之间的开区间。不等式组的解集就是这两个区间的交集，而题目告诉我们

   $\left(\alpha_1, \beta_1\right) \cap \left(\alpha_2, \beta_2\right) = (1, 2)$

2. 2

   用韦达定理钉住两组根的和。 无论 $a$、$b$ 取什么值，$x$ 的系数都已经把根的和定死了：

   $\alpha_1 + \beta_1 = 5, \qquad \alpha_2 + \beta_2 = -3$

   正是这个约束让题目有解——两个区间并不能随意选取。

3. 3

   把交集的两个端点分配给两个区间。 交集 $(1,2)$ 的左端点 $1$ 和右端点 $2$ 各由一个区间提供。先试 $\alpha_1 = 1$：则 $\beta_1 = 5 - 1 = 4$，第一个区间是 $(1, 4)$，它提供左端点。于是右端点必须由第二个区间提供，所以 $\beta_2 = 2$，$\alpha_2 = -3 - 2 = -5$，即 $(-5, 2)$。

4. 4

   由两根之积读出 a 和 b。 韦达定理中根的乘积给出常数项：

   $a = \alpha_1\beta_1 = 1 \times 4 = 4, \qquad b = \alpha_2\beta_2 = (-5)(2) = -10$

5. 5

   验证分解与交集。 $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) < 0$ 的解集是 $(1,4)$，$x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) < 0$ 的解集是 $(-5,2)$。二者的交集为 $(1,4) \cap (-5,2) = (1,2)$，与题目要求完全一致。

6. 6

   再验证没有别的分配方式。 若改由第二个区间提供左端点，则 $\alpha_2 = 1$、$\beta_2 = -4$——这不可能，因为必须有 $\beta_2 > \alpha_2$。所以 $(a,b) = (4,-10)$ 是唯一解。