把 x¹⁰ − y¹⁰ 彻底因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   选一种能让每个因式都保持有理的拆法。 因为 $10=2\times5$，指数可以按两种方式减半。先按平方差拆最合适，因为 $a^{2}-b^{2}$ 一步就能分成两个因式：

   $x^{10}-y^{10}=\left(x^{5}\right)^{2}-\left(y^{5}\right)^{2}=\left(x^{5}-y^{5}\right)\left(x^{5}+y^{5}\right)$

   （改从 $\left(x^{2}\right)^{5}-\left(y^{2}\right)^{5}$ 出发最终也能到同一个结果，但要多做不少重新分组。）

2. 2

   分解五次方之差。 一般公式是 $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\right)$，取 $n=5$，长因式里每一项都带 $+$ 号：

   $x^{5}-y^{5}=(x-y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)$

3. 3

   分解五次方之和。 奇数次幂的和同样能分解，只是长因式里的符号要正负交替：

   $x^{5}+y^{5}=(x+y)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   这一步之所以成立，全靠 $5$ 是奇数 —— 相比之下 $x^{4}+y^{4}$ 在整数范围内就分解不了。

4. 4

   拼出完整的分解式。

   $x^{10}-y^{10}=(x-y)(x+y)\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)\left(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}\right)$

   次数加起来正好对得上：$1+1+4+4=10$ ✓。两个四次因式在整数范围内都不可约，所以已经分解到底了。

5. 5

   数值验证。 在 $-6\le x,y\le6$ 范围内的全部 $169$ 组整数对 $(x,y)$ 上展开这个乘积，都精确地还原出 $x^{10}-y^{10}$ ✓。快速抽查 $x=2,y=1$：左边是 $1024-1=1023$，右边是 $(1)(3)(16+8+4+2+1)(16-8+4-2+1)=1\cdot3\cdot31\cdot11=1023$ ✓。