把 x² + 5xy + 6y² − 2x − 7y − 3 因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把二次部分单独拎出来。 如果整个式子能分解成两个一次因式，那么这两个因式的最高次部分相乘必须给出 $x^2+5xy+6y^2$。把这一块先分解掉，答案的形状也就定下来了。

2. 2

   分解二次部分。

   $x^{2}+5xy+6y^{2}=(x+2y)(x+3y)$

   所以分解式一定形如 $(x+2y+p)(x+3y+q)$，其中 $p$、$q$ 是待定常数。

3. 3

   先用常数项定范围。 两个常数相乘要等于 $pq=-3$，所以 $\{p,q\}$ 只能是 $\{1,-3\}$ 或 $\{3,-1\}$。

4. 4

   再比较 x 与 y 的系数，在两种情况中挑出正确的。 把 $(x+2y+p)(x+3y+q)$ 展开，$x$ 的系数是 $p+q$，$y$ 的系数是 $3p+2q$。我们需要 $p+q=-2$ 且 $3p+2q=-7$。$p=-3$、$q=1$ 这一组同时满足：$-3+1=-2$，$-9+2=-7$。

5. 5

   写出答案。

   $\boxed{(x+2y-3)(x+3y+1)}$

6. 6

   展开验算。

   $(x+2y-3)(x+3y+1)=x^2+3xy+x+2xy+6y^2+2y-3x-9y-3=x^2+5xy+6y^2-2x-7y-3$